Относительное уравнивание

Рейтинг надежности онлайн казино за 2020 год:
  • СОЛ Казино
    СОЛ Казино

    1 место в рейтинге! Моментальные выплаты!

  • ФРЭШ Казино
    ФРЭШ Казино

    Приветственный бонус 20 000 руб! Быстрые выводы!

Уравнивание геодезических сетей по результатам относительных GPS-измерений Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Дударев В. И.

Рассматривается метод уравнивания геодезических сетей, использующий результаты относительных GPS-измерений. Подробно описывается процесс формирования системы уравнений поправок: матрицы коэффициентов и вектора правой части. Этот метод позволяет получать координаты неизвестных пунктов в системе координат начальных пунктов.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Дударев В. И.

Equalizing of geodetic networks by results of relative GPS-measurements

The method of equalizing of the geodetic networks, using results of relative GPS-measurements is considered. Process of formation of correction equations system is in detail described: matrixes of factors and vector of the right-hand part. This method allows to receive coordinates of unknown points in system of coordinates of initial points.

Текст научной работы на тему «Уравнивание геодезических сетей по результатам относительных GPS-измерений»

УДК 528.22:551.24 В.И. Дударев СГГА, Новосибирск

УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ GPS-ИЗМЕРЕНИЙ

Рассматривается метод уравнивания геодезических сетей, использующий результаты относительных GPS-измерений. Подробно описывается процесс формирования системы уравнений поправок: матрицы коэффициентов и вектора правой части. Этот метод позволяет получать координаты неизвестных пунктов в системе координат начальных пунктов.

Siberian State Academy of Geodesy (SSGA)

10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, Russian Federation

EQUALIZING OF GEODETIC NETWORKS BY RESULTS OF RELATIVE GPS-MEASUREMENTS

The method of equalizing of the geodetic networks, using results of relative GPS-measurements is considered. Process of formation of correction equations system is in detail described: matrixes of factors and vector of the right-hand part. This method allows to receive coordinates of unknown points in system of coordinates of initial points.

Определение координат наземных пунктов (НП) с использованием GPS-технологий может выполняться либо абсолютным, либо относительным методами. Первый метод по причине своей низкой точности применяется для решения задач навигационного класса. Второй метод обеспечивает высокие точности, поэтому применяется в задачах высокоточного определения пространственных координат как отдельных НП, так и пунктов геодезических сетей различного назначения.

Рейтинг казино на русском языке:
  • СОЛ Казино
    СОЛ Казино

    1 место в рейтинге! Моментальные выплаты!

  • ФРЭШ Казино
    ФРЭШ Казино

    Приветственный бонус 20 000 руб! Быстрые выводы!

При использовании абсолютного метода спутниковый приемник устанавливается на определяемом НП и выполняет синхронные GPS-измерения нескольких космических аппаратов (КА) (не менее четырех). В результате математической обработки этих измерений вычисляется радиус-вектор определяемого пункта R=[XYZ] в той общеземной системе координат ^XYZ), в которой задаются пространственные положения навигационных КА используемой на момент работы спутниковой радионавигационной системы (СРНС). В настоящее время для пространственно-временного обеспечения проводимых навигационных и топографо-геодезических работ наиболее активно используется СРНС NAVSTAR. Пространственное положение

спутников этой СРНС задается в общеземной системе координат WGS-84. Поэтому под общеземной системой далее будем понимать систему координат WGS-84.

Чтобы получить пространственные координаты НП (радиус-вектор Кг^^гГ ) в некоторой референцной системе (OXYZ)Г (обычно СК-42), необходимо выполнить известное матричное преобразование геоцентрического радиус-вектора И НП из общеземной системы координат в референцную Яг =(1-к) Ят(щ) Я-ёЯ (1)

В этом преобразовании матрица К(щ) малых поворотов координатных

осей референцной системы координат является итогом последовательного перемножения трех матриц вращения и имеет вид [1,2]

Щщ) = к3 К) ■ к2 ) ■ К1 (1%) = Щ/ 1 “Щх . (2)

В формулах (1) и (2) обозначено: Т — здесь и далее знак транспонирования; к — поправка к масштабу референцной системы координат; щ= [щх щу щх ]’ -трехмерный вектор-столбец малых углов поворота координатных осей референцной системы координат относительно осей общеземной системы; dR = [dX dY dZ] — трехмерный вектор-столбец смещения начала референцной системы координат относительно начала общеземной системы.

При использовании относительного метода один спутниковый приемник устанавливается на пункте с известными координатами (исходный или опорный пункт), второй — на определяемом пункте. При этом, как правило, пространственное положение исходного пункта задается (известно) в референцной системе координат. Во время рабочего сеанса приемники синхронно отслеживают несколько КА СРНС. В процессе математической обработки измеренных дальностей по линиям КА — НП определяется вектор-столбец АК;;+1 =[АХ АУ А2]^+1 (1 = 1, 2, п — число измерений)

относительного положения (базовый вектор) определяемого НП к исходному НП в системе координат (ОXYZ). Если бы было известно пространственное положение Ri исходного НП в общеземной системе координат, то пространственное положение определяемого НП в этой же системе можно было бы найти как

Если будет известно пространственное положение Ип исходного НП и вектор /\Кп ;+1 =[АХ АУ А2]р; ;+1 относительного положения наземных

пунктов в референцной системе координат, то пространственное положение Ип+1 определяемого НП в этой же системе можно найти как

1*п+1 = Кп “1“ Д-^ту+1 • (4)

Применив матричное преобразование (1) при к=0, вектор АКгй+1 здесь может быть найден следующим образом [4]

: К(щ)• К1+1- сік — К(щ) И, +сШ = К(щ)• (К1+1- К,). (5)

ЛКщ+1 = КТ(ю) • АИ ід+1 . (6)

Выполнив перемножение матрицы И (ю) на вектор АИі,і+1 в (6) и выделив при этом вектор ю, можно записать следующее матричное выражение [3, 4]

АИЫ+1 = АИГ Ы+1 + О • ю. (7)

В нем матрица Б составлена из координат вектора ЛИ и имеет вид

С учетом (4) равенство (7) можно записать как

АИі,і+1 = Б • ю + ИГі+1 — ИГі . (9)

При формировании матрицы Б следует учитывать направление вектора АИ, оно должно совпадать с направлением вектора АИГ из (4).

Выражение (9) является математической моделью измерений и может быть представлено в общем виде

АИіі+1 = АИ(ю, Игі , Игі+О . (10)

Разложим его правую часть в ряд Тейлора в малой окрестности априорных значений векторов ю, Ип и Ип+ь ограничившись при этом первыми членами разложения. В итоге имеем

где ю’, Кп и И’гі+1 — априорные значения векторов ю, Ип и Ип+ь Величины 5ю, 5Иі и 5Иі+1 являются поправками к априорным значениям векторов ю’, Кп и И’гі+1 и определяются как

5ю = ю — ю’, 5Иі = Кп — И’п , 8Иі+1 = Кп+1 — К’п+ъ (12)

Для нахождения частных производных в выражении (11) воспользуемся равенством (9). Можно записать

дщ ’ Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Подставив зависимости (13) в (11), получим

АКи+1 = АК(щ,Кп,Кп+1) + Б’-дщ-Е-дК; + Е-дКі+1. (14)

Здесь матрица Б’ вычисляется c использованием (приближенных) значений векторов ДКГ и со’ по формулам:

Щщ) = щ Z 1 -Щх . (17)

Теперь можно записать уравнение поправок для одного измерения

D • дщ— Е • дК; + Е • дК1+1 = ДЙу+1 — AR; 1+1 + V, (18)

в котором ARj i+1 — трехмерный вектор-столбец результатов относительных

GPS-измерений в общеземной системе координат (измеренный базовый вектор, проекции которого выбираются из протокола работы утилиты “Baselines” либо программного комплекса “GPSurvey”, либо “Trimble Geomatics Office” и т.п.); AR i+1 — трехмерный вектор-столбец (вычисленный базовый вектор),

определяемый по формуле (16) с использованием приближенных значений векторов со’ и ARn i+1; V — трехмерный вектор-столбец поправок к измеренному

вектору AR. В уравнении поправок (18) матрицы D’ и Е будут матрицами коэффициентов, векторы 5ю, дД; и дД;+1 — неизвестными поправками к

приближенным (вычисленным) значениям векторов со’, Rri и Rri+1, а разность

AR; i+1 — AR. — вектором правой части.

Для n относительных GPS-измерений уравнение (18) образует систему линейных уравнений поправок

Dj-дщ—Е-д^ + Е• дД2 = ARU -ARU +V15

D2 • дщ— E • дД2 + E • дД3 = AR2 з — AR2 3 + V2, (19)

Бп • дщ- Е • + Е • дКр = АЙП — ARn + Уп,

где p — число определяемых пунктов.

Систему уравнений поправок (19) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений А-Х = Е + V. (20)

В ней матрица коэффициентов А является блочной матрицей и в общем случае может быть записана как

где 0 — нулевая 3×3 матрица; Е — единичная 3×3 матрица.

Вектор-столбец неизвестных X в (20) составлен из поправок к приближенным значениям малых углов поворота ю’, координатам

определяемых НП НГІ, RГІ+1 и имеет вид

Поправки к приближенным значениям малых углов поворота здесь выступают только в роли согласующих параметров. Вектор правой части Е является вектором-столбцом размерности 3 х п и определяется как разность измеренных базовых векторов ДК; м и их вычисленных значений ЛК’1Л+|

Если за приближенные значения малых углов поворота принять нулевые значения (о’=0, то в (12) будет 5(о=(о. Тогда вектор неизвестных (22) примет вид

дЬ*! дК2 . дКр.! дДР

Решение задачи, рассмотренное выше, можно выполнить иначе. Сначала определить малые углы поворота ю, а затем уже после решения системы уравнений поправок (19) — пространственные положения определяемых НП. При таком подходе данная система уравнений упрощается, так как из нее исключается вектор неизвестных 5оо. Чтобы найти вектор-столбец (о, нужно для т измеренных базовых векторов АБ^ 0 = 1, 2, . т) между исходными

пунктами сформировать на основании равенства (7) систему линейных уравнений [4]

В ней базовые векторы ДКГ| вычисляются в референцией системе

(OXYZ)Г по известным пространственным положениям этих же исходных

пунктов. После решения системы уравнений (25) находятся углы малых поворотов ш.

Для определения вектора ю в (25) можно применить один из двух приемов. Первый — измерить базовые векторы между опорными НП. Например, векторы ^2,1 > А^2,3 И АК31 (см. рис.1). Но такой подход приводит к увеличению

затрат на выполнение полевых работ. Второй — вместо непосредственно измеренных базовых векторов между опорными НП взять замыкающие векторы, полученные из суммы измеренных базовых векторов по векторным ходам, проложенными между опорными и определяемыми НП. Например, базовые векторы АК21, ДК23 и АК31 (рис.1) могут быть найдены как

А^2.1 — А^2,4 + А^4.6 + А^6.1 >

ДК2)3 = ДК2-4 + ДИ4_5 + ДК3-5, (26)

Следует иметь в виду, что в равенствах (26) алгебраическое сложение векторов нужно выполнять с учетом их направленности. На основе измеренных либо вычисленных (как замыкающие векторы) значений базовых векторов формируется система линейных уравнений (25). После ее решения находится вектор ю.

Представленный метод уравнивания дает высокие точности определения координат определяемых пунктов в геодезических сетях, создаваемых с использованием GPS-технологий. Он может применяться при развитии локальных и региональных геодезических сетей сгущения. Для достижения хороших результатов желательно, чтобы геодезические построения содержали в себе не менее 4 исходных НП [4]. Соблюдение этого условия приводит к тому, что система линейных уравнений (19) будет хорошо обусловлена и мало чувствительна к ошибкам исходных данных: к ошибкам координат исходных пунктов и результатов измерений [5].

Ниже в качестве примера на простой схеме геодезической сети (рис.1) рассмотрим последовательность формирования системы линейных уравнений поправок вида (19). Будем полагать, что в этой сети измерены базовые векторы

□ — исходный НП; о — определяемый НП Рис. 1. Схема геодезической сети

Для этой сети система линейных уравнений поправок будет иметь вид:

Бгдщ+0 дК4 + 0 дК5 —Е-дК6 =АК6Д -АК6Д +У15

Т)2 • дщ+Е-дК4 + 0 дК5 +0-дК6 =АК2>4 -АК2>4 +У2,

Бз дщ+0 дК4 +Е-дК5 + 0• дК6 = — Д&,>5 +У3, (27)

Б4 дщ-Е дК4 +Е-дК5 +0-дК6 = АК4>5 -АК4>5 + У4,

Б5 • дщ+0-дК4 —Е-дК5 + Е-дК6 = ДЙ5>6 -ДК^ + У5,

Б6 дщ-Е дК4 + 0 дК5 +Е-дК6 = ДЙ4>6 -ДК4>6 +У6.

Приближенные значения измеренных значений базовых векторов для данной сети можно получить следующим образом. Сначала вычисляются приближенные значения пространственных координат определяемых НП (геоцентрические радиус-векторы И’Г4, Я’Г5 и Я’Г6 в референцной системе) по

известным координатам опорных НП и измеренным значениям ДК2 4, АК3 5 и АК61 базовых векторов (с учетом их направленности) по формулам

+ А^2,4 5 ^15 — К, 3 + А^3,5 5 «Гб

Затем при (о’=0 вычисляются значения базовых векторов АК| м как

Относительное уравнивание

Уравнивание (геодезических измерений)

Уравнивание геодезических измерений – совокупность математических операций, выполняемых для получения вероятнейшего значения геодезических координат точек земной поверхности и для оценки точности результатов измерений.

Уравнивание проводится для устранения невязок, обусловленных наличием ошибок в избыточно измеренных величинах, и для определения вероятнейших значений искомых неизвестных или их значений, близких к вероятнейшим. В процессе уравнвиания это достигается путём определения поправок к измеренным величинам (углам, направлениям, длинам линий или превышениям).

Уравнивание геодезических измерений бывает строгое и упрощенным (нестрогое). В случае строгого уравнивания поправки обычно определяют с помощью метода наименьших квадратов так, чтобы сумма квадратов всех поправок была наименьшей. Определяемые и такого уравнивания поправки имеют вероятнейшие (оптимальные) значения. Применение метода наименьших квадратов к уравниванию измеренных величин вполне законно только в том случае, когда ошибки их имеют случайный характер.

Так, в простейшем примере плоского треугольника сумма углов должна строго равняться 180°. Измеренные углы вследствие ошибок измерения этому условию, вообще говоря, не удовлетворяют и должны быть исправлены прибавлением соответствующих поправок. Из всего бесконечного множества поправок, которые приводят сумму измеренных углов к 180°, лишь одна система поправок обладает тем свойством, что сумма квадратов их есть минимум; такая система считается вероятнейшей. В приведённом примере это имеет место, если невязку разложить поровну на все три угла.

Строгое уравнивание геодезических сетей, особенно больших по размерам, сопряжено с рядом трудностей технического и организационного характера. Поэтому на практике часто применяются упрощенное (нестрогое) уравнивание, при котором все геометрические условия выполняются, а вероятнейшие значения величин и оценка точности получаются приближенно.

В геодезической практике как при строгом, так и при упрощённом уравнивании широко используются главным образом два способа уравнивания: способ условных измерений и способ посредственных измерений. При первом способе поправки отыскивают непосредственно к измеренным величинам, при втором — к их функциям (как правило, координатам).

Всякий способ уравнивания состоит из следующих основных процессов: предварительных вычислений, составления условных уравнений или уравнений погрешностей, составления нормальных уравнений, решения нормальных уравнений и оценки точности измеренных и уравненных величин. При большом числе нормальных уравнений наиболее трудоёмкой частью уравнительных вычислений является их решение, поэтому оно обычно осуществляется на ЭВМ. Уравнения могут решаться методом последовательного исключения неизвестных (схема Гаусса) или методом итерации (приближений). Иногда нормальные уравнения не составляют, в этом случае неизвестные определяют непосредственно из решения или условных уравнений, или уравнений погрешностей. В некоторых случаях при обработке материалов геодезических измерений невысокой точности уравнивание результатов выполняют графическим способом.

В геодезической практике применяются различные способы уравнивания: параметрический, коррелатный, комбинированный, рекуррентный, параметрический способ с зависимыми переменными, коррелатный способ с дополнительными параметрами, способ последовательных приближений и др.

октаноповышающая присадка от компании Одуванчик. Самый вкусный табак для кальяна: какой лучше? в Москве.

Условные уравнения. Число независимых условий

Уравнивание триангуляции коррелатным способом.

Уравнивание коррелатным способом выполняют по углам или – более строго – по направлениям. Условные уравнения разделяют на угловые и синусные. Угловыми называют линейные условия, имеющие коэффициенты ±1 и 0. Синусными называют нелинейные условные уравнения, в которых содержатся синусы. В триангуляции после устранения невязок угловых условий дирекционный угол любой стороны сети определяется однозначно независимо от пути его передачи от исходных дирекционных углов.

В триангуляции имеются следующие виды угловых условий.

Условия фигур возникают в треугольниках и многоугольниках. В плоском треугольнике (рис.1а),

1 + 2 + 3 – 180 0 = ω

где 1, 2, 3 – измеренные значения углов треугольника; ω – невязка в треугольнике. При уравнивании к углам J определяют поправки (J) и получают

1+ (1) + 2 + (2) + 3 + (3) – 180 0 = 0.

Из сравнения этих выражений находят условие фигур

При уравнивании направлений для треугольника условное уравнение фигур имеет вид (рис1.б)

-(1) + (2) – (3) + (4) – (5) + (6) + ω = 0 ,

Условия горизонта возникают на пунктах, на которых в уравнивание включены все углы, образуемые смежными направлениями, сумма этих углов равна 360 0 , т.е.

При уравнивании по направлениям условий горизонта не возникает.

Условия исходных дирекционных углов возникают при вставке цепочки треугольников в угол или между исходными сторонами и состоят в том, что сумма уравненных углов должна равняться величине жесткого угла или дирекционный угол стороны СД (рис.1.в) должен равняться его вычисленному значению от исходного дирекционного угла стороны АВ с использованием уравненных значений углов треугольников.

На рис.1.а αВС + 6 + 3 – αВА = ω.

После введения поправок и преобразований получаем условное уравнение

Для сети на рис.1.в.

После введения поправок и преобразований находим условное уравнение

Если дирекционные углы αАВ и αСД (рис.1.в) получены из измерений и поправки (αАВ) и (αСД) в их значениях определяют из уравнивания сети, то условное уравнение дирекционных углов в этом случае имеет вид

где ω определяют по формуле (1).

Синусные условия состоят из полюсных, базисных и координатных; их учет необходим для однозначного определения длины любой стороны сети независимо от пути ее определения от исходных сторон. Координатные условия обеспечивают однозначное получение координат любого пункта сети.

Полюсные условия возникают в центральных системах и геодезических четырехугольниках, так как в этих фигурах одна сторона является избыточной. На рис.2 с учетом замены отношения сторон отношением синусов противолежащих им углов имеем

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 9136 — | 7367 — или читать все.

ТОП онлайн казино по количеству бонусов и скорости вывода выигрыша:
  • СОЛ Казино
    СОЛ Казино

    1 место в рейтинге! Моментальные выплаты!

  • ФРЭШ Казино
    ФРЭШ Казино

    Приветственный бонус 20 000 руб! Быстрые выводы!

Добавить комментарий